Matrice nilpotente

[Oskour]

Salut

Je suis tombé sur un truc bizarre dans le cours du prof sur les matrices... Il donne la définition d'une matrice nilpotente suivante :

"Une matrice est dite nilpotente d’ordre n lorsque An=0 et An-1≠0".


Soit on admet c'est une définition Mais juste après il prend l'exemple d'une matrice carré d'ordre n, nilpotente d'ordre 3. Il affirme ensuite ceci :

"Pour tout n≥3, A3=0, c’est la définition même d’une matrice nilpotente. "

Sauf que dans la définition donnée plus haut il n'est pas question de "≥"... Je comprends pas vraiment du coup : C'est un corollaire ? Une déduction ? Un oubli ? Ou alors je suis passé à côté de quelque chose ?

Voilà désolé du dérangement
Merci d'avance et à bientôt

PS : La fiche sur les matrices est extraordinaire, elle me sauve la vie J'avais jamais vu les matrices (#SpéSVT) mais là c'est super clair merci encore

[BloodyMary]

Coucou !

D'après quelques recherches, il semblerait que pour une matrice nilpotente, on utilise le plus petit indice p qui vérifie A^p égal à la matrice nulle. D'où le fait que le prof mette pour tout n≥p (avec p=3 ici, du coup).

En soi, tu vois bien que si ta matrice carrée est d'ordre 5, A³ sera toujours égale à la matrice nulle, car elle est nilpotente d'ordre 3 de toutes façons.
Si l'ordre de la nilpotence est 3, alors A³= 0 mais A² ≠ 0.

Avec ce cours, il faut faire attention à ne pas voir des pièges partout, si ça te semble juste à un petit détail près, c'est que ça l'est probablement ! A mon avis, le prof va rester assez simple et général dans ses questions

[Fred']

Petit ajout à l'explication de ma co-tut :

En fait une fois que A^p = matrice nulle, tu pourras la multiplier par tout ce que tu veux, le produit restera nul.
C'est pour ça que pour tout n>p, la puissance n de la matrice A sera nulle

C'est comme si tu faisais -3×-2×-1×0×1×2×3...
A partir du moment où ton 0 rentre dans le calcul, même si tu continues indéfiniment ton produit sera toujours = 0

J'espère que ça sera tout bon pour toi !!

Ps: merci pour le retour sur la fiche, cest hyper gratifiant qu'elle vous plaise autant !!!

[Oskour]

Coucou

Ahhhhhhhhhh ! Oui j'arrive pas à me faire à l'idée que c'est pas des nombres réels mais des MATRICES ! Je comprends beaucoup mieux

Merci beaucoup beaucoup beaucoup je comprends parfaitement maintenant (du moins j'espère) !
Un peu galère au début mais assez fun au final

Merci à vous 2 vous gérez de ouffff
A bientôt

PS : je peux pas passer le post en résolu sorry