LOI EXPONENTIELLE (2020-2021 Variables aléatoires QRU 8)

[Moonlight]

Coucou encore

Je n'ai pas très bien compris ce QCM (et la loi exponentielle tout cours en fait), quand est-ce qu'il faut utiliser la fonction de densité ? la fonction de répartition ?...

Merci d'avance

[Light]

Salut,
est-ce que tu peux mettre ici le qru en question sous forme d'image? Ce sera plus rapide pour te répondre, merci.

[Moonlight]

Coucou, désolée, j'arrive pas à faire d'impression écran sur mon ordi, mais du coup j'ai recopié le QCM :


QRU 8 : Entrant en PACES vous avez acheté un ordinateur sur lequel vous vouliez travailler vos cours. Vous
décidez d’assurer votre ordinateur pendant 24 mois, tout en sachant que la durée de vie moyenne d’un
ordinateur est de 4 ans. Mais comme vous passez tellement d’heures sur votre ordinateur pour bosser vos
fiches, votre risque de tomber en panne au bout de seulement 2 ans. On considère que le taux de défaillance
instantané est constant et on le traduit par une loi exponentielle de paramètre λ=2.

A) La probabilité que votre ordinateur ait une durée de vie supérieure à la moyenne est de 1-e-2
B) La probabilité que votre ordinateur ait une durée de vie supérieure à la moyenne est de 1-e-4
C) La probabilité de ne pas faire jouer votre assurance est de e-2
D) La probabilité de faire jouer votre assurance est de 1-e-1
E) Les propositions A, B, C et D sont fausses

Merci

[Fred']

Salut !

Alors d'abord petit rappel sur la loi exponentielle :
On l'utilise lorsque à tout instant, un évènement peut se produire selon le même taux de défaillance (ici la panne de ton ordi). La panne instantanée arrivera toujours avec le même taux, mais en moyenne, ton ordinateur a une durée de vie de 4ans.

A propos de la loi de densité : Comme c'est dit dans la fiche, de manière générale, la loi de densité permet de donner P(a<X<b) : la probabilité qu'un évènement X (ici la panne de ton ordi) arrive dans un certain intervalle (ici de temps) quand tu calcules l'intégrale sous la courbe de ta loi de densité. Pour la loi exponentielle la forme de la courbe de ta loi de densité est donnée par 𝝀ⅇ^(−𝝀x). Mais tu n'utiliseras normalement jamais cette formule telle quelle, sauf si on te demande texto le cours. On te demandera par contre un cas particulier où la formule t'es donnée : avec la Fonction de répartition !

Du coup La fonction de répartition elle, donne la probabilité que ton évènement se produise AVANT une certaine valeur. C'est donc l'intégrale de ta loi de densité sur un intervalle donné (aire sous la courbe). C'est P(X<a). Pour la loi exponentielle P(X<a)=P(0<X<a)=𝟏 − e^(−𝝀x). Ici tu l'utiliseras si on te demande la probabilité que ton ordi lâche avant Noel par exemple, ou bien entre maintenant et dans 6mois.


Donc, pour en revenir à ce qru :
A) et B) La probabilité que ton évènement se produise APRES une date donnée, c'est donc contraire à la probabilité que ton évènement se produise AVANT une date donnée, donc c'est 1-P(X<a)= 1- [𝟏 − e^(−𝝀x)] = e^(−𝝀x) ce qui te donne ici e^(-2x2)

C) La probabilité de ne pas faire jouer son assurance c'est donc la probabilité que ton ordi ne meurt pas dans les 24mois=2ans, donc P(X>2). Même raisonnement qu'au dessus, c'est 1-P(X<2)....

D) La probabilité de faire jouer ton assurance c'est donc la probabilité que ton ordi crash avant les 24mois=2ans, donc cette fois tu as bien P(X<2) donc =𝟏 − e^(−𝝀x) = 𝟏 − e^(−2x2)

Dis moi si c'est bon pour toi !
bisous !

[Moonlight]

Coucou,

Waoooow, super merci beaucoup , j'ai tout bien compris pour les applications de la loi, mais il y a juste un petit détail qui me chiffonne :

pourquoi pour les items A et B on ne trouve pas 1-[1-e^-2*4] avec la moyenne = 4 du coup ?

et pour l'item C pourquoi pas 1-[1-e^-2*2] vu que c'est la proba d'être supérieur à 2 ?

Merci encore, t'es vraiment au top

[Fred']

Pour la A et la B en fait 2 possibilités, selon ce que l'ancien tut' voulait dire :
- Soit on considère que pour tous les ordis la moyenne était de 4ans, sauf que toi tu l'utilises trop donc ta moyenne passe à 2ans. Dans ce cas là dans le qcm A et B on parle bien d'une moyenne =2 donc on fait &-l'exponentielle de -4. Mais c'est pas très clair je te l'accorde...
- Soit on considère comme tu le dis que la moyenne est bien celle de tous les ordis donc de 4, dans ce cas la correction du A serait fausse et on aurait bien 1-e(-8)

Par contre dans tous les cas, la C est en effet fausse. La probabilité de ne pas faire jouer ton assurance est bien de e(-4) !!! Petite errata que je note aussitôt !

Merci à toi, et à très vite !

[Moonlight]

Je vois, merci beaucoup pour ces précisions
bonne journée à toi !